Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 3: Areas Part 1

Example 1

Find the exact value of the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis. Determine the area by finding the limit of the sum of the areas of inscribed rectangles as the number of rectangles increases without bound.

Solution

Sketch the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».

Because the function is symmetric about the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, find the area between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math», and double the result.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Area«/mi»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»where«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«mi»d«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/math»

Start by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Area«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»n«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Recall the sum «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mi»n«/mi»«/math» and the sum of squares of the natural number is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/math».

Therefore, the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis (from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math») is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»32«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».