L3 Areas I - Practice 1
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 3: Areas Part 1
Practice
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Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Calculate the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis,
between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» by finding the limit of the sum of the areas
of inscribed rectangles as the number of rectangles increases without bound.
1.
Calculate the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis,
between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» by finding the limit of the sum of
the areas of inscribed rectangles as the number of rectangles increases without bound.
Sketch the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
Start by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/math».
Therefore, the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»38«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Area«/mi»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»where«/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»and«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/math»
Start by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»b«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»a«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»i«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Area«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»i«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«msup»«mi»i«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»38«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Area«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«/msub»«/mfenced»«mo»§#916;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»i«/mi»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«munderover»«mo»§#8721;«/mo»«mrow»«mi»i«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/munderover»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced 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Therefore, the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»38«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».