Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 3: Areas Part 1

Find the area between the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math».

Sketch a graph to see the bounded area.
 



The area can be determined by evaluating the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/msubsup»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»b«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Therefore, the area under the curve from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Find the area between the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math». 

Sketch a graph to see the bounded area.




The area can be determined by evaluating the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/msubsup»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»b«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»27«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»26«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Therefore, the area under the curve from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»26«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».