Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 4: Areas Part 2

Verify «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Set up a table to show the left side is equal to the right side.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Use integration by substitution to find the antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Recall because the goal is to evaluate the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», there is no need to add the constant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math» in this intermediate step.


Now, find the definite integral.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»