L3 Areas II - Practice 1
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 4: Areas Part 2
Practice
Once you feel confident with the definite integral, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Verify «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
2.
Determine the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
1.
Verify «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Set up a table to show the left side is equal to the right side.
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mo»+«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» |
2.
Determine the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Use integration by substitution.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Use integration by substitution.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»21«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mn»105«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»35«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»21«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»12«/mn»«mn»105«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»35«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Expand the binomial before integrating.
Expand the binomial before integrating.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»096«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»256«/mn»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»972«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»108«/mn»«mo»+«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»556«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»647«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»909«/mn»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Use integration by substitution.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/math».
Use integration by substitution.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»