L4 Areas II - Part 4
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 4: Areas Part 2
Area Bounded by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis
In the previous Lesson, it was shown that for a positive and continuous function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» defined on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math», the area bounded above the curve, the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, and the vertical lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b«/mi»«/math» is given by the definite integral of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math».
For any value «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math», the area under the curve from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» is dependent on the value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». This means the area is some function of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». Call the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» is the area of the region under the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». Note- we will not calculate an area function.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«/msubsup»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/math».
In the previous Lesson, it was shown that for a positive and continuous function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» defined on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math», the area bounded above the curve, the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, and the vertical lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»b«/mi»«/math» is given by the definite integral of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math».
For any value «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math», the area under the curve from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» is dependent on the value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». This means the area is some function of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». Call the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» is the area of the region under the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math». Note- we will not calculate an area function.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«/msubsup»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»a«/mi»«/mfenced»«/math».