L4 Areas II - Part 5
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 4: Areas Part 2
Determine the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math», the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis,
and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
The curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» is continuous and positive on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
The area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»12«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/math» is the area of the region between the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math». |
Find the area between the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«/math».
The curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«/math» is continuous and positive on the interval from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«/math».
To find the antiderivative, use integration by substitution.
The area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
There is an alternative method for finding the required area. This method involves finding new limits of integration.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
The integral can now be rewritten in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math», as above. However, since the limits of integration now correspond to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math», the integral can be evaluated by substituting «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math», respectively, for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
The area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
The graph of the area under the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is shown below.
Even though the two graphs look different, the shaded areas are the same.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To find the antiderivative, use integration by substitution.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Let«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
There is an alternative method for finding the required area. This method involves finding new limits of integration.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»9«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
The integral can now be rewritten in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math», as above. However, since the limits of integration now correspond to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math», the integral can be evaluated by substituting «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math», respectively, for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/msup»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»e«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
The graph of the area under the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/math» from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is shown below.
Even though the two graphs look different, the shaded areas are the same.