Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 4: Areas Part 2

Watch the video The Definite Integral and Area for an alternative way of finding area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.

As seen in the video, area can be calculated as follows.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center center¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»above«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»below«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«mi»s«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mi»i«/mi»«mi»s«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Example 6 will be solved using this method.

For the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math»,

a.
find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»,

b.
determine the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»9«/mn»«/math», and

c.
explain why the solutions to part «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» and part «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math» are different.

a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

b.
Determine the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercept of the graph of the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» in the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»9«/mn»«/math».

To find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercept, let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Sketch a graph of the bounded area.


 

To find the total area, subtract the value of the definite integral used to find the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from the value of the definite integral used to find the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»4«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»4«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mn»4«/mn»«mn»9«/mn»«/msubsup»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
         
Therefore, the area bounded by the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»9«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».

c.
The solution to part «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» tells that the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, which is positive, is the same as the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, which is negative, and thus the value of the definite integral is zero. The solution to part «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math» represents the total area bounded by the curve and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis on the given interval.