L4 Areas II - Practice 2
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 4: Areas Part 2
Practice
Once you feel confident with finding area bounded by a curve and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Determine the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math», and
the two given vertical lines.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
2.
Determine the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
3.
Find the exact value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math». For this question, change the limits of integration to perform the integration in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» using integration by substitution.
1.
Determine the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»,
and the two given vertical lines.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercept.
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, subtract the value of the definite integral used to find the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from the value of the definite integral used to find the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»unit«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercept.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, subtract the value of the definite integral used to find the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from the value of the definite integral used to find the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced
open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msubsup»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced
open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»unit«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, find each area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and add the areas together.
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»72«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Note: The area could have also been found using «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/math» since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval.
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, find each area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and add the areas together.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»0«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»0«/mn»«/msubsup»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced
open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»81«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»81«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»225«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»63«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»72«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Recall for areas below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, writing a negative in front of the integral, or taking the absolute value of the integral, will result in a positive value, reflective of the actual area. |
Note: The area could have also been found using «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/math» since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval.
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Sketch a graph of the bounded area.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, subtract the value of the definite integral used to find the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from the value of the definite integral used to find the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»71«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
To find the total area, subtract the value of the definite integral used to find the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis from the value of the definite integral used to find the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mn»1«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»14«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»14«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»71«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math», and the lines «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»71«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
2.
Determine the area enclosed by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
Sketch a graph of the bounded area.
Since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval, the area can be found using the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Therefore, the area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»324«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
Since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval, the area can be found using the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»243«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»81«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»243«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»81«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»243«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»81«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»243«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»81«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»324«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»324«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»324«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math»
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
To factor the quadratic equation, use the quadratic formula.
Sketch a graph of the bounded area.
Since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval, the area can be found using the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
To factor the quadratic equation, use the quadratic formula.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»12«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Sketch a graph of the bounded area.
Since the curve does not cross the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis in the required interval, the area can be found using the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»18«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
3.
Find the exact value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math». For this question, change the limits of integration to perform the integration in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» using integration by substitution.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The integral can now be rewritten in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
The exact value is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The integral can now be rewritten in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»u«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»u«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»u«/mi»«/mfenced»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The exact value is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/math».