L5 Areas Between Curves - Part 2
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 5: Areas Between Curves
In this Lesson, a technique for finding the area bounded by two curves will be investigated.
Determine the area bounded by the curves defined by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/math».
Sketch the curves to determine the bounded area.
Find the points of intersection of the curves by solving a system of equations.
Substitute the first equation into the second equation.
The «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-coordinates of the points of intersection correspond to the limits of integration for the area calculation.
Now, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» is the area bounded by the line «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»6«/mn»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» is the area bounded by the parabola «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the same interval.
To find the area between the curves, subtract the area beneath the parabola from the area beneath the line. In other words, top minus bottom.
The area between the two curves is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»343«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
In general, if the curves defined by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» are such that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»b«/mi»«/math», then the area between the curves over that interval is the integral of the top curve minus the integral of the bottom curve.
Find the points of intersection of the curves by solving a system of equations.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute the first equation into the second equation.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-coordinates of the points of intersection correspond to the limits of integration for the area calculation.
Now, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» is the area bounded by the line «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»6«/mn»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» is the area bounded by the parabola «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis over the same interval.
To find the area between the curves, subtract the area beneath the parabola from the area beneath the line. In other words, top minus bottom.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»6«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»72«/mn»«mo»+«/mo»«mn»90«/mn»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»54«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»19«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»343«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The area between the two curves is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»343«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
In general, if the curves defined by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» are such that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#62;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» over the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi»b«/mi»«/math», then the area between the curves over that interval is the integral of the top curve minus the integral of the bottom curve.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/msubsup»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/msubsup»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»