L6 Integration by Parts - Part 3
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 6: Integration by Parts
The examples that follow will show that with careful selection of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» in the original problem, the integral «math
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» will be easier to evaluate than the original integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/math».
Watch the video The Basic Idea to see the development of the integration by parts formula and for an example using the formula.
In the video, a chart was used to help with the integration by parts set-up.
By setting up the chart as shown, the top row of the chart represents what is known, and the bottom row must be filled in before proceeding further with the integration.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
Determine the appropriate substitutions for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/math».
Substitute the expressions for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» into the integration by parts formula.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Recall the solution can be checked by finding the derivative using the product rule.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math»
Determine the appropriate substitutions for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math».
| Note: The entire inside of the integral (the integrand), «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/math», is represented by the chosen substitutions. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute the expressions for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» into the integration by parts formula.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Recall the solution can be checked by finding the derivative using the product rule.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
In the video, a chart was used to help with the integration by parts set-up.
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«/math» |
By setting up the chart as shown, the top row of the chart represents what is known, and the bottom row must be filled in before proceeding further with the integration.