Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 6: Integration by Parts

Watch the video Choosing to determine how to select the best choices for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/math» when integrating by parts.

  1. In the video, the following hints were given to help choose «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/math». Choose «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» such that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» is simpler than «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and such that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/math» can be integrated.
  2. The use of trial and error is ok.
  3. Try using L.I.P.E.T. for choosing «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».




      4. Note that inverse trigonometric functions are beyond the scope of this course.

Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Since there is a natural logarithm in the integral, it will be the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».

Set up the chart. The top row will be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math»  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«/math»  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«/math»

Now, complete the chart by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math»  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math»  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math»

Use the integration by parts formula to perform the integration.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».

Recall the solution can be checked by finding the derivative using the product rule. Click
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
here for the derivative.