L6 Integration by Parts - Part 5
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 6: Integration by Parts
Watch the video More Examples to see additional problems that require the integration by parts method. Take note as to which function is chosen as «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
In the video, Example 4 required the use of a graphing calculator to find the area under the curve. Below is the algebraic solution to the area under the curve of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math» between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
As seen in the video, the definite integral was calculated as
To find the area, evaluate the definite integral from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
This is the same area as was determined using the graphing calculator in the video.
In the video, Example 4 required the use of a graphing calculator to find the area under the curve. Below is the algebraic solution to the area under the curve of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math» between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
As seen in the video, the definite integral was calculated as
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/math»
To find the area, evaluate the definite integral from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨]¨»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
This is the same area as was determined using the graphing calculator in the video.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Integrate using integration by parts.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»25«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»d«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»25«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»25«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»25«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».