L6 Integration by Parts - Practice 1
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 6: Integration by Parts
Practice
Once you feel confident with integration by parts, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
2.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
3.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
4.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
1.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Using L.I.P.E.T., the polynomial «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» will be the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
Set up the chart. The top row will be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Now, complete the chart by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Set up the chart. The top row will be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«/math» |
Now, complete the chart by finding «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/math» |
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
2.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
3.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
4.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»or«/mi»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Since this integral is a definite integral, it must be evaluated at the given boundary points.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»64«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»256«/mn»«/mfrac»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Since this integral is a definite integral, it must be evaluated at the given boundary points.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»64«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»256«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»64«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»256«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msubsup»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«mn»64«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»256«/mn»«/mfrac»«/math».