L6 Integration by Parts - Part 6
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 6: Integration by Parts
Repeated Application of Integration by Parts
Sometimes, integration by parts must be applied more than once in order to complete a challenging integration problem.Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Using L.I.P.E.T., the polynomial function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» will be the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
To evaluate the second integral, integration by parts must be applied again.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Now,
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
To evaluate the second integral, integration by parts must be applied again.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
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