L6 Integration by Parts - Practice 2
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 6: Integration by Parts
Practice
Once you feel confident with repeated application of integration by parts, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
1.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Use the integration by parts formula to perform the integration.
To evaluate the second integral, integration by parts must be applied again.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Now,
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»32«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the integration by parts formula to perform the integration.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»u«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
To evaluate the second integral, integration by parts must be applied again.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»32«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»32«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».