L7 Integration by Partial Fractions - Part 3
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 7: Integration by Partial Fractions
For the rational expression «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»,
a.
resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math» into two fractions, and
b.
evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
a.
To resolve the given rational expression into two fractions, factor the denominator of the rational expression «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Now, let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math» are constants.
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
Collect like terms on the right side of the equation.
The coefficient on «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» on the left side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math», must be equivalent to the coefficient
on «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» on the right side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Similarly, the constant on the left side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math», must be equivalent to the constant on the right side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Use substitution or elimination to solve this system of equations.
To use the elimination method, add the two equations together.
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math» into the first equation.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Now, let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math» are constants.
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Collect like terms on the right side of the equation.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Note: «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/math» will be a constant. |
Similarly, the constant on the left side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math», must be equivalent to the constant on the right side of the equation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»7«/mn»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use substitution or elimination to solve this system of equations.
To use the elimination method, add the two equations together.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»15«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math» into the first equation.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
To evaluate the integral, use the fractions found in part «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Recall, from the Table of Integrals, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math». |
Note: The video states the degree of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» must be less than the degree of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math». Example 4 and Example 5 will show it is possible to use this approach when the degree of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math» is greater than or equal to the degree of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
As demonstrated in the video, there are three steps to follow for the method of integration using partial fractions.
These steps are as follows.
- Factor the denominator.
- Convert to partial fractions.
- Integrate.
Watch the video Another Example of Integrating by Partial Fractions for an additional example using this method.