L7 Integration by Partial Fractions - Part 4
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 7: Integration by Partial Fractions
The previous examples demonstrated the method of integration by partial fractions when the denominator was the product of distinct linear factors. The next example will demonstrate the method when the denominator is the product of repeating
linear factors.
For each repeating linear factor represented by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/math», the sum of the partial fractions includes «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math» terms of the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»...«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»A«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»B«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»C«/mi»«mi»,...«/mi»«/math».
Note the proof of this theorem is beyond the scope of this course.
For each repeating linear factor represented by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/math», the sum of the partial fractions includes «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«/math» terms of the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»...«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»A«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»A«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»A«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»B«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«msub»«mi»A«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»C«/mi»«mi»,...«/mi»«/math».
Note the proof of this theorem is beyond the scope of this course.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Resolve the expression «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» into two fractions
before integrating.
Since the denominator of the rational expression is the product of linear factors that are repeated, the format of the partial fractions will be as follows.
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
Consider expanding the right side of the equation to verify it is equivalent to the left side.
Verify the right side is equivalent to the left side.
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Since the denominator of the rational expression is the product of linear factors that are repeated, the format of the partial fractions will be as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Consider expanding the right side of the equation to verify it is equivalent to the left side.
Verify the right side is equivalent to the left side.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»,
use the integration by substitution method; let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
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