L7 Integration by Partial Fractions - Practice 2
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 7: Integration by Partial Fractions
Practice
Once you feel confident with integration by partial fractions when the denominator has one or more distinct irreducible quadratic factors, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
into two fractions.
2.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
1.
Resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
into two fractions.
Factor the denominator.
Since the denominator of the rational expression has an irreducible quadratic function, the format of the partial fractions will be as follows.
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
From equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«/math».
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Since the denominator of the rational expression has an irreducible quadratic function, the format of the partial fractions will be as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Multiply each fraction by the common denominator, and then simplify.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»C«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
From equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»i«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
2.
Evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Factor the denominator.
Since the denominator of the rational expression has an irreducible quadratic factor, the format of the partial fractions will be as follows.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Since the denominator of the rational expression has an irreducible quadratic factor, the format of the partial fractions will be as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left left¨»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left left¨»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mi»...«/mi»«mi»e«/mi»«mi»q«/mi»«mi»u«/mi»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«mi»i«/mi»«mi»o«/mi»«mi»n«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»i«/mi»«mi»i«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»i«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math». |