L7 Integration by Partial Fractions - Part 6
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 7: Integration by Partial Fractions
In the previous examples, the degree of the numerator was always less than the degree of the denominator. However, this need not always be the case. When integrating by partial fractions involving improper rational expressions, the expressions must
each be rewritten as a polynomial plus a proper rational expression. An example of this would be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math». Example 4 will
show how to obtain the right side from the left side.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Since the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, divide the numerator by the denominator using long division or synthetic division.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»25«/mn»«/msrow»«msrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«none/»«none/»«none/»«/msrow»«msline length=¨7¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»25«/mn»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»40«/mn»«/msrow»«msline length=¨7¨ position=¨3¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»15«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center center center¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»40«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«menclose notation=¨box¨»«mn»15«/mn»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»15«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»8«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»