L7 Integration by Partial Fractions - Practice 3
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 7: Integration by Partial Fractions
Practice
Once you feel confident with integration by partial fractions for improper rational expressions, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
2.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
3.
Resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math» into fractions.
4.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
1.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Since the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, divide the numerator by the denominator using long division or synthetic division.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msrow»«msrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«mi»x«/mi»«none/»«none/»«/msrow»«msline length=¨7¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/msrow»«msline length=¨4¨ position=¨3¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»9«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center center¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«menclose notation=¨box¨»«mn»9«/mn»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
2.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Since the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, divide the numerator by the denominator using long division.
The method of integration by partial fractions will have to be applied to evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
To solve by elimination, multiply the top equation by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math» before subtracting the equations.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mi»x«/mi»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»3«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/msrow»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»3«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«none/»«/msrow»«msline length=¨10¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The method of integration by partial fractions will have to be applied to evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
To solve by elimination, multiply the top equation by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math» before subtracting the equations.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨ rowlines=¨none solid none¨»«mtr»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»A«/mi»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»18«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»52«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»18«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
3.
Resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math» into fractions.
Since the degree of the numerator is the same as the degree of the denominator, divide the numerator by the denominator using long division.
Use the method of partial fractions to resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» into two fractions.
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»53«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»53«/mn»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨1px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»3«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msrow»«msrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/msrow»«msline/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the method of partial fractions to resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» into two fractions.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨ rowlines=¨none solid none¨»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»53«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»53«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»53«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»53«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»53«/mn»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
4.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Since the degree of the numerator is the same as the degree of the denominator, divide the numerator by the denominator using long division.
Use the method of partial fractions to resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» into two fractions.
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨1px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»1«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»8«/mn»«/msrow»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»16«/mn»«/msrow»«msline/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»8«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the method of partial fractions to resolve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/math» into two fractions.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»A«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»B«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Equate the coefficients from each side of the equation, and solve for the constants «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨center center left¨ rowlines=¨none solid solid none¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»
Use substitution to solve the linear system«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»B«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»B«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»B«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math», find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/math»
Now, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»