L1 Distance, Displacement, and Velocity - Part 5
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 1: Distance, Displacement, and Velocity
A particle begins moving along a number line from a point «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» units to the right of the origin. The displacement «math
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» from the origin is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/math»,
where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math».
Determine
Determine
a.
the average velocity between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math»,
b.
the velocity at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»,
c.
the velocity at time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math»,
d.
the minimum value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math»,
e.
the path travelled by the particle, represent that path on a number line, and describe the motion of the particle, and
f.
the total distance travelled in the first four seconds.
a.
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#916;«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#916;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The average velocity between «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»units«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»v«/mi»«mi»e«/mi»«/mrow»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#916;«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#916;«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
The velocity at any moment in time is equal to the first derivative of the function.
The velocity at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The velocity at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
c.
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math»:
The velocity at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»units«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The velocity at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»units«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
d.
The displacement of the particle is a minimum when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/math».
The minimum displacement of the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»units«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The minimum displacement of the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»units«/mi»«/math».
| Recall the first derivative of a function is used to determine the local maximum or local minimum of that function. A local maximum or local minimum will occur where the derivative is zero or undefined. Since the velocity function is the first derivative of the position function, the velocity function can be used to find the maximum or minimum of the position function. |
e.
Sketch the path travelled by the particle using a number line.
Solution
Use a table of values to aid in sketching the path.
The particle started out «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» units to the right of the origin, and then moved left towards the origin. When the particle was «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math»
units from the origin, it reversed its direction, and moved away from the origin.
Solution
Use a table of values to aid in sketching the path.
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math» |
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math» | «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» |
f.
Since the particle changes direction at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math», the distance calculation must be divided into two parts.
Note: The turning point occurs at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» (when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»).
The distance travelled by the particle from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» can be calculated as follows.
The distance travelled by the particle from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math» can be calculated as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The total distance travelled by the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»=«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»units«/mi»«/math».
Note: The turning point occurs at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» (when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»).
The distance travelled by the particle from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» can be calculated as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The distance travelled by the particle from «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math» can be calculated as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The total distance travelled by the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»=«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»units«/mi»«/math».