Unit 7B

Integrals Part 2

Lesson 1: Distance, Displacement, and Velocity

 A brick is dropped from the top of an «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»80«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» building. Its height, until it hits the ground, after time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»80«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is in metres and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds.

Determine

a.
the brick’s velocity after «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math»,

b.
when the brick hits the ground, and

c.
the brick’s velocity as it hits the ground.

a.
To determine the velocity, find the derivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»80«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Note: A negative velocity indicates that the brick is travelling downward.

For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mi»w«/mi»«mi»n«/mi»«/math»

For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math»:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»s«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»o«/mi»«mi»w«/mi»«mi»n«/mi»«/math»

b.
The brick will hit the ground when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»80«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»80«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»80«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

The brick will hit the ground after «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».

c.
Evaluate the velocity function at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math» to determine the brick’s velocity just before it hits the ground.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

The brick will hit the ground at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».