L2 Displacement, Velocity, and Acceleration - Part 5
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 2: Displacement, Velocity, and Acceleration
Watch the video Rectilinear Motion for an additional example of a particle moving in a straight line.
A particle moves in a straight line. The displacement, in metres, is given by the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds.
Determine the acceleration at the instant when the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
Determine the acceleration at the instant when the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
To find the acceleration, first find the velocity function by determining the derivative of the displacement function. The derivative is found by applying the quotient rule.
The velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math».
Now, find the acceleration function.
The acceleration function is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/math». Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math»:
The acceleration of the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» when the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math».
Now, find the acceleration function.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The acceleration function is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right left left left left center center center right center center¨»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»t«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right left left left left center center center right center center¨»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»t«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/math». Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»64«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The acceleration of the particle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» when the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».