L2 Displacement, Velocity, and Acceleration - Practice 2
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 2: Displacement, Velocity, and Acceleration
Practice
Once you feel confident with acceleration, click on the Practice tab and complete problems 1 to 7. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
The following graph shows a velocity function.
State whether the acceleration is positive, negative, or zero for each of the following intervals.
State whether the acceleration is positive, negative, or zero for each of the following intervals.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«/math»
2.
A particle’s position, in centimetres, is defined by the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«mi»t«/mi»«/math»,
where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds. Find the acceleration at the moment when the velocity
is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
3.
An object is moving along a straight path defined by the position function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«/math»,
where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» is in meters and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds.
a.
At what time is the object’s acceleration zero?
b.
What is the position and the velocity of the object when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»?
c.
Describe the object’s motion when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
4.
The brakes of a bus are fully applied when the bus is travelling at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»108«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»km«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»h«/mi»«/math». If braking produces a constant
acceleration of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,
and the velocity function is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/math», how long will it take the bus to stop?
5.
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»28«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math»
is displacement and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» is velocity, find the acceleration «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
6.
The relationship between velocity «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» and time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»v«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/math».
Prove that the acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
7.
A gun was fired. The bullet travelled a distance «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» in the barrel of the gun. The velocity of the bullet is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Find the acceleration of the bullet in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math».
1.
The following graph shows a velocity function.
State whether the acceleration is positive, negative, or zero for each of the following intervals.
State whether the acceleration is positive, negative, or zero for each of the following intervals.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«/math» to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»t«/mi»«mn»6«/mn»«/msub»«/math»
a.
positive
b.
negative
c.
positive
d.
zero
e.
negative
f.
positive
2.
A particle’s position, in centimetres, is defined by the function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«mi»t«/mi»«/math»,
where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds. Find the acceleration at the moment when
the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
First, find the velocity function by finding the derivative of the displacement function.
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»:
Now, determine the derivative of the velocity function to find the acceleration function. Then, evaluate the acceleration function for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
The particle’s acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»24«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» when its velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»24«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, determine the derivative of the velocity function to find the acceleration function. Then, evaluate the acceleration function for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The particle’s acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»24«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» when its velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»cm«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
3.
An object is moving along a straight path defined by the position function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«/math»,
where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» is in meters and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds.
a.
At what time is the object’s acceleration zero?
b.
What is the position and the velocity of the object when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»?
c.
Describe the object’s motion when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
a.
First, determine the acceleration function.
Now, determine the time when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
The acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, determine the time when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
b.
Determine both «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math»
when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
At «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», the position of the object is at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» and the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
At «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», the position of the object is at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» and the velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
c.
The object is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»14«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» to the left of the origin and is travelling to the left
at a constant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», away from the origin,
when the acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
4.
The brakes of a bus are fully applied when the bus is travelling at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»108«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»h«/mi»«/math». If braking produces
a constant acceleration of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»,
and the velocity function is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/math», how long will it take the
bus to stop?
The bus will stop when the velocity is zero, that is, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
It will take the bus «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to stop.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»15«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
It will take the bus «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to stop.
5.
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»28«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math»
is displacement and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» is velocity, find the acceleration «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»v«/mi»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» are all functions of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»,
they can be differentiated with respect to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math».
First, take the derivative of each term with respect to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math», substitute these into the equation.
The acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
First, take the derivative of each term with respect to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»28«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mn»28«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»s«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»v«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math», substitute these into the equation.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»s«/mi»«mi»v«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»v«/mi»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»s«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»s«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
6.
The relationship between velocity «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«/math» and time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»v«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/math».
Prove that the acceleration is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
Take the derivative of each term with respect to «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»v«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»v«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»v«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
7.
A gun was fired. The bullet travelled a distance «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math» in the barrel of the gun. The velocity of the bullet is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Find the acceleration of the bullet in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math».
To find the acceleration, determine the derivative of the velocity function.
Now, substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» into the acceleration function to simplify in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»6«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»36«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»36«/mn»«mi
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Now, substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi»s«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» into the acceleration function to simplify in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»36«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mi»v«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»s«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»36«/mn»«mi
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