L3 Integration - Part 3
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 3: Integration
A rock is tossed upward at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» from the top of a building, located «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the ground. The velocity of the rock at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»
is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Determine the rock’s height «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math». Determine the total distance the
rock travels before it strikes the ground.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» given «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/math»,
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»15«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», the value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math» can be determined.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Since the rock rises and then falls, find the turning point of the position function to determine how far the rock travels.
The turning point occurs when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
The rock reaches a maximum height at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
In the first second, the rock rises «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top of the building, located «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the ground, to a maximum height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». Thus, the total distance the rock travels is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»25«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»15«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», the value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math» can be determined.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»15«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»15«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Since the rock rises and then falls, find the turning point of the position function to determine how far the rock travels.
The turning point occurs when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The rock reaches a maximum height at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»When«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
In the first second, the rock rises «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top of the building, located «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the ground, to a maximum height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». Thus, the total distance the rock travels is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»25«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
The total distance can also be found by evaluating the definite integral to determine the area between the curve of the velocity function and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis. First, determine how long the rock is in the air.
When the rock strikes the ground, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Because time must be positive, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is the total time the rock is in the air.
Graph the velocity function for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
The total area is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»25«/mn»«/math». Therefore, the distance the rock travels is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»25«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
It is important that the velocity function is graphed to find the definite integral. Using the graph, it is very easy to see which part of the function lies above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis and which part of the function lies below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis. If the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/math» was evaluated, the result would have been «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». This result represents the displacement of the rock. That is, the rock lands «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» below its initial position.
When the rock strikes the ground, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Because time must be positive, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» is the total time the rock is in the air.
Graph the velocity function for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»t«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Total«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Area«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Recall the area below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis needs to be subtracted from the area above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis. |
It is important that the velocity function is graphed to find the definite integral. Using the graph, it is very easy to see which part of the function lies above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis and which part of the function lies below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»-axis. If the definite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mn»3«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/math» was evaluated, the result would have been «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». This result represents the displacement of the rock. That is, the rock lands «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» below its initial position.