L3 Integration - Part 5
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 3: Integration
A skier is accelerating straight down a run at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
The position of the skier, measured from the top of the hill is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». If the skier’s initial velocity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math»,
determine
a.
The skier’s velocity at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»,
b.
the skier’s location relative to the top of the hill at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math», and
c.
the distance skied by the time the skier’s velocity reaches «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
a.
Since the skier is skiing in a straight line, acceleration, velocity, and velocity are positive (no change in direction). To find the skier’s velocity at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math»,
find the velocity function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math».
Use the initial condition «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math».
Therefore, the velocity of the skier at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Recall from the video «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» represents the constant for the velocity function. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the velocity of the skier at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
b.
To find the skier’s location relative to the hill at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math», find the position function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math».
Use the initial condition «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
Therefore, the skier’s location relative to the top of the hill at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the initial condition «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the skier’s location relative to the top of the hill at any time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/math».
c.
To determine the distance skied by the skier by the time the velocity reaches «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», first determine the time when the skier reaches a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
Now, substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math» into the position function to determine the skier’s location.
The skier is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top of the hill when he reaches a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». Since he started «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top, the distance skied was «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»11«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math» into the position function to determine the skier’s location.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»40«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The skier is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top of the hill when he reaches a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». Since he started «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the top, the distance skied was «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».