L3 Integration - Part 6
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 3: Integration
In Example 3, position, velocity, and acceleration were all measured in the same direction. As such, they could all be represented as positive quantities. However, for situations where opposite directions are involved, positive is indicates
upward or to the right, and negative indicates downward or to the left.
A pancake is flipped straight upward at a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». If the pancake leaves the
pan «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the floor, to what height does it rise? Assume acceleration due to gravity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
First, find the velocity function, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
The pancake reaches a maximum height when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
The pancake reaches a maximum height at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/math».
To determine the maximum height reached by the pancake, first determine the position function.
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/math».
The pancake rises to a height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»17«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo» «/mo»«mi»or«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». It rises «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the pan.
Note position and velocity are opposite in direction to acceleration. Acceleration due to gravity acts downward and is assigned a negative sign.
| Acceleration due to gravity is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»9«/mn»«mo».«/mo»«mn»81«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». However, for ease of calculation, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» will be used in this course. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
The pancake reaches a maximum height when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The pancake reaches a maximum height at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/math».
To determine the maximum height reached by the pancake, first determine the position function.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/math».
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»17«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The pancake rises to a height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»17«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo» «/mo»«mi»or«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math». It rises «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the pan.