L3 Integration - Practice 2
Completion requirements
Unit 7B
Integrals Part 2
Lesson 3: Integration
Practice
Once you feel confident with acceleration, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
A ball is tossed vertically upward at a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». If the ball is released «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the ground, how high will it rise?
2.
On an icy road, a car travelling at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» brakes and decelerates at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». What is the stopping distance of the car?
3.
An object is travelling in a straight line. Its acceleration at time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/math». Find the velocity function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» and the position function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» if at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
1.
A ball is tossed vertically upward at a velocity of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». If the ball is released «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above the ground, how high will it rise?
Assume «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». The initial velocity is positive since the object is tossed upward.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
The ball reaches its maximum height when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
Now, determine the position function.
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
To find the maximum height reached by the ball, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
The maximum height is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»22«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math», therefore the ball will rise «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»22«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above its initial height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». The initial velocity is positive since the object is tossed upward.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
The ball reaches its maximum height when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, determine the position function.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
To find the maximum height reached by the ball, find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mo»+«/mo»«mn»40«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»22«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum height is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»22«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math», therefore the ball will rise «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»22«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» above its initial height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
2.
On an icy road, a car travelling at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» brakes and decelerates at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». What is the stopping distance of the car?
Since the car decelerates at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», use «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». The initial velocity is positive since the car is travelling forward.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/math».
When the car stops, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
The car takes «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to stop.
Now, determine the position function.
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mi»t«/mi»«/math».
Since the initial position is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math», and the car does not change direction, the stopping distance is simply the final position.
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math»:
The stopping distance of the car is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math». The initial velocity is positive since the car is travelling forward.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/math».
When the car stops, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The car takes «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» to stop.
Now, determine the position function.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mi»t«/mi»«/math».
Since the initial position is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math», and the car does not change direction, the stopping distance is simply the final position.
For «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math»:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»150«/mn»«mo»+«/mo»«mn»300«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The stopping distance of the car is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
3.
An object is travelling in a straight line. Its acceleration at time «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/math». Find the velocity function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» and the position function «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/math» if at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mi»o«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»v«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
When «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»s«/mi»«mfenced»«mi»t«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»t«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/math».