Unit 1A

Precalculus

Lesson 6: Rational Expressions

Skill Builder

Factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Trinomials are written in the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math». The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math». and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» such that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in order to match the previous pattern. Sometimes these values can be determined quickly by inspection. Sometimes a table is more helpful. Start with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» values that multiply to give «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» and then check to see which pairing gives «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» Pattern Match?
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» Yes

In the last line of the table, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Now, a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math»-value and a «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math»-value that satisfy the requirements of factoring the trinomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» are known. Use these to write the trinomial in factored form.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Verify by expanding.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Factor the trinomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» and the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«/mstyle»«/math»-value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math». Look for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» such that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» Pattern Match?
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» No

There are no other integer values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math» that have a product of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math». The trinomial «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» cannot be factored in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»p«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» using integer values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»p«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»q«/mi»«/mstyle»«/math».
Factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» using grouping by decomposition.


Step 1:
If possible, identify the GCF.

There is no GCF.

Step 2:
Find a pair of numbers with a sum of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math» («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in this case), and a product of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»in this case).

One strategy is to list numbers that multiply to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» and then look within those pairs for a sum of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

First No.
Second No.
Product Sum Works?
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»29«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mfenced»«mn»30«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mo»=«/mo»«mn»29«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»15«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»15«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»15«/mn»«mo»=«/mo»«mn»13«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» No
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» Yes
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» No

Step 3:
The numbers «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» add to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and multiply to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»30«/mn»«/mstyle»«/math». Rewrite the middle term («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math»-term) as two terms with coefficients «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math». This step “decomposes” the middle term into two usable terms.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»-«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»6«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Step 4:
Group the first two terms and the last two terms.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»-«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»6«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»-«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»6«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Step 5:
Remove the greatest common factor from each of the two groups.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»-«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»6«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»+«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Note that the goal is to be left with identical factors in each set of brackets. As such, sometimes this means factoring a negative number from one of the two groups, which technically wouldn’t make it the “Greatest” common factor.

Step 6:
The result is a common factor, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», in each group. Remove the common factor and simplify.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»+«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»+«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»2«/mn»«mi mathcolor=¨#0080FF¨»x«/mi»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»+«/mo»«mo mathcolor=¨#0080FF¨»§#160;«/mo»«mn mathcolor=¨#0080FF¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Verify by expanding.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Note that this is similar to collecting like terms, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Instead of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»a«/mi»«/mstyle»«/math» being the common term, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is common.


Factor the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Step 1:
Substitute a new variable to represent the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»u«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Step 2:
Factor the simplified version of the quadratic expression.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»u«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»u«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Step 3:
Replace the substituted variable with the original expression.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Step 4:
Simplify the factors.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Notice that after simplifying the factors, a new GCF was found.

Click here for more information on how to factor.

Difference of Squares

Difference of squares polynomials have the form

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mi»or«/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»where«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»and«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

It is important to recognize these special polynomials because it will save a lot of time!

Once recognized as a difference of squares, factoring is done by first taking the square root of both terms. Then, in one factor you add the square root of each term; and in the second factor you subtract the square root of each term. Note that order does not matter; you can subtract in
the first factor and add in the second factor.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»a«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Factor the following differences of squares.

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»81«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»25«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»16«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn mathsize=¨14px¨»4«/mn»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/msup»«mo mathsize=¨14px¨»-«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»81«/mn»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»4«/mn»«/msup»«mo mathsize=¨14px¨»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨14px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»9«/mn»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨14px¨»-«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»9«/mn»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn mathsize=¨14px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨14px¨»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/msup»«mo mathsize=¨14px¨»-«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»25«/mn»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»4«/mn»«/msup»«mo mathsize=¨14px¨»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn mathsize=¨14px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨14px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»5«/mn»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn mathsize=¨14px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨14px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨14px¨»-«/mo»«mn mathsize=¨14px¨»5«/mn»«msup»«mi mathsize=¨14px¨»y«/mi»«mn mathsize=¨14px¨»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/math»

c.
The square root of the first term is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the square root of the last is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»16«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
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