U2A L3 Exponent Laws Skill Builder
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 3: The Power Rule and The Sum and Differences Rules of Derivatives
Skill Builder
The Exponent Laws
The exponent laws need to be reviewed in order to understand and perform multiplication and division with radicals.
Exponent Laws
The Exponent Laws are:
Product Law: Multiplication of “like” bases: add the exponents.
Division Law: Division of "like" bases: subtract the exponents.
Power of a Power Law: Multiply the exponents.
Power of a Product Law: Distribute the exponent to all factors.
Power of a Quotient Law: Distribute the exponent to the dividend and the divisor.
Zero Exponent Law: Any value to the exponent zero is equal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
Negative Exponent Law: Power with a negative exponent is equal to its reciprocal with a positive exponent.
Rational Exponents Law: The denominator of the exponent becomes the index of the radical, and the numerator becomes the exponent of the power in the radicand.
The Exponent Laws are:
Product Law: Multiplication of “like” bases: add the exponents.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Division Law: Division of "like" bases: subtract the exponents.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»-«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Power of a Power Law: Multiply the exponents.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Power of a Product Law: Distribute the exponent to all factors.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»m«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Power of a Quotient Law: Distribute the exponent to the dividend and the divisor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mi»m«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«msup»«mi»y«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Zero Exponent Law: Any value to the exponent zero is equal to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Negative Exponent Law: Power with a negative exponent is equal to its reciprocal with a positive exponent.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Rational Exponents Law: The denominator of the exponent becomes the index of the radical, and the numerator becomes the exponent of the power in the radicand.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mi»m«/mi»«mi»n«/mi»«/mfrac»«/msup»«mo»=«/mo»«mroot»«msup»«mi»x«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«mi»n«/mi»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use the exponent laws to complete the following exercises.
Simplify the following expressions.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»§#247;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«msup»«mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»m«/mi»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»§#247;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»m«/mi»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»m«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«msup»«mi»n«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»m«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»n«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»n«/mi»«mi»m«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rewrite each radical as a power.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«msup»«mi»h«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»6«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mroot»«msup»«mi»h«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«mo»=«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mroot»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»6«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»d«/mi»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»d«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rewrite each power as a radical.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»t«/mi»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»v«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»=«/mo»«mroot»«msup»«mi»t«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»5«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»v«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»=«/mo»«mroot»«mi»v«/mi»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Evaluate the following expressions without using a calculator. Verify your answers using a calculator.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«msup»«mn»64«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mroot»«msup»«mn»32«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»5«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mroot»«msup»«mn»64«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»64«/mn»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«msup»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»4«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mroot»«msup»«mn»32«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»5«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»32«/mn»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfenced»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»