U5 L1 Number Problems Skill Builder
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 1: Numbers Problems and Geometric Applications
Skill Builder
Determine four consecutive odd integers such that if the first integer is increased by two, the second integer is decreased by two, the third integer is multiplied by two, and the fourth integer is squared, the sum of the four resulting integers is seven.
Step 1:
Write what you know.
To help organize the information, use a table.
The sum of the four resulting values is seven.
To help organize the information, use a table.
| Number | Integer
|
Operation
|
Result
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#215;«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» | squared | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mstyle»«/math» |
The sum of the four resulting values is seven.
Step 2:
Analyze how to solve the problem.
Add the four expressions from the last column together. Their sum will equal seven.
Add the four expressions from the last column together. Their sum will equal seven.
Step 3:
Solve the problem.
Check your answers.
There are two sets of solutions:
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then the first number is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The four consecutive odd numbers are therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then the first number is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The four consecutive odd numbers are therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle indentalign=¨right¨ mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»63«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»36«/mn»«mo»+«/mo»«mn»56«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»14«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mspace
linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mtable columnspacing=¨default default default default default default default¨ columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr/»«/mtable»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr/»«/mtable»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr/»«/mtable»«mspace
linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/mstyle»«/math»
| Because this is an equation, you can remove the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math» by dividing both sides by «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math». Zero divided by a non-zero is still zero.
|
| Left Side
|
Right Side
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»-«/mo»«mn»56«/mn»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»LS«/mi»«mo»=«/mo»«mi»RS«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | |
| Left Side
|
Right Side
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«msup»«mn»7«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»28«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»18«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»196«/mn»«mo»-«/mo»«mn»196«/mn»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»42«/mn»«mo»+«/mo»«mn»49«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»LS«/mi»«mo»=«/mo»«mi»RS«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | |
There are two sets of solutions:
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then the first number is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The four consecutive odd numbers are therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», then the first number is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The four consecutive odd numbers are therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»11«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».