L4 Concavity and Points of Inflection - Practice 1
Completion requirements
Unit 3
Curve Sketching
Lesson 4: Concavity and Points of Inflection
Practice
Once you feel confident with concavity and points of inflection, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Determine where the curve «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is concave up and where it is concave down. Find the inflection point(s).
2.
For the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», use the Second Derivative Test to determine the local maximum and minimum values.
3.
Given the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
a.
find the critical points,
b.
the intervals of increase and decrease,
c.
the local extrema,
d.
all possible inflection points,
e.
the intervals of concavity and the actual inflection points, and then
f.
sketch the graph.
4.
Sketch the graph of a function with the following characteristics. State any inflection points.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Critical points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Possible inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Points: «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Critical points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Possible inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Points: «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math»
|
1.
Determine where the curve «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is concave up and where it is concave down. Find the inflection point(s).
Find the second derivative of the function to determine the possible inflection points.
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the inflection points into the original function to find the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection points.
The possible inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»31«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Use the possible inflection points to find the intervals of concavity. Recall the sign analysis method could also be used to find the intervals.
Set up a chart to summarize the information found.
The function is concave up on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The function is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there is a change in concavity at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the function is continuous, inflection points occur at those values. Therefore, the inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»31«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
For reference purposes only, the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo» «/mo»«mi»and«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the inflection points into the original function to find the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection points.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»For«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»:«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»For«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»:«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»31«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The possible inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»31«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Use the possible inflection points to find the intervals of concavity. Recall the sign analysis method could also be used to find the intervals.
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»18«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»6«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Set up a chart to summarize the information found.
| Possible Inflection Points
|
|
||
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Behaviour of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
concave up
|
concave down
|
concave up |
The function is concave up on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The function is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there is a change in concavity at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the function is continuous, inflection points occur at those values. Therefore, the inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»31«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
For reference purposes only, the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown.
2.
For the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», use the Second Derivative Test to determine the local maximum and minimum values.
Note: «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is defined for «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the first derivative to determine the critical point(s).
There is also a critical point at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the derivative of
the function is undefined at that point. However, since the function itself is only defined where «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
the critical point «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is actually an endpoint of the function,
and thus not a possible location for local extrema.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the critical point.
The critical point is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, find the second derivative at this point.
Since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» for all «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the domain of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is always concave up and the point «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» represents a local minimum.
For reference purposes only, the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown.
Find the first derivative to determine the critical point(s).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Expanding the function, in this particular instance, eliminates the need to use the product rule. |
| Converting rational exponents to radicals makes it easier to solve for «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». |
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» in the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the critical point.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msqrt»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The critical point is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Now, find the second derivative at this point.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» for all «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» in the domain of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is always concave up and the point «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» represents a local minimum.
For reference purposes only, the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown.
3.
Given the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
a.
find the critical points,
b.
the intervals of increase and decrease,
c.
the local extrema,
d.
all possible inflection points,
e.
the intervals of concavity and the actual inflection points, and then
f.
sketch the graph.
a.
Find the first derivative to determine the critical point(s).
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
Using the critical points, find the intervals of increase and decrease.
Set up a chart to summarize the information found.
The function is increasing on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8746;«/mo»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The function is decreasing on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»27«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Set up a chart to summarize the information found.
| Critical Points
|
|
||
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Behaviour of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
increasing | decreasing | increasing |
The function is increasing on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8746;«/mo»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The function is decreasing on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
c.
Using the critical points and the intervals of increase and decrease from the chart, identify the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates
of the local extrema, and then find the corresponding «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates using the original function.
The local maximum is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the local minimum is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math».
The local extrema can be confirmed using the Second Derivative Test, if desired.
Since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is concave down and a relative maximum occurs at «math»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math». And, since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is concave up and a relative minimum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The local maximum is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and the local minimum is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math».
The local extrema can be confirmed using the Second Derivative Test, if desired.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«mtd»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is concave down and a relative maximum occurs at «math»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math». And, since «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the curve is concave up and a relative minimum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mstyle»«/math».
d.
Use the second derivative to find possible inflection point(s).
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection point, substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate into the original function.
The possible inflection point is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection point, substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate into the original function.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The possible inflection point is «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
e.
To find the intervals of concavity and the actual inflection points, set up a chart or use the sign analysis method.
The curve is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The curve is concave up on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there is a change in concavity at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the function is continuous, there is an inflection point at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», use «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Possible Inflection Point
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | |
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Behaviour of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
|
concave down
|
concave up
|
The curve is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The curve is concave up on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there is a change in concavity at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and the function is continuous, there is an inflection point at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
f.
Using the critical points, intervals of increase and decrease, local maximum and minimum, inflection points, and intervals of concavity, sketch the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Click
here to view the completed graph.
4.
Sketch the graph of a function with the following characteristics. State any inflection points.
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Critical points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Possible inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Points: «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
There are inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Critical points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»: Possible inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Points: «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math»
|
There are inflection points at «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».