L1 Numbers Problems and Geometric Applications - Part 3
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 1: Numbers Problems and Geometric Applications
Find two positive numbers whose product is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»108«/mn»«/mstyle»«/math», for which the sum of the first number plus three times the second number
is a minimum.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»
be the two numbers and let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«/mstyle»«/math» be the described sum.
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
Although «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is also critical, the only suitable value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» since the question asks for positive numbers only.
By the second derivative test, the function is at a minimum, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» because the second derivative is positive at that point (concave up).
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
The two numbers are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»18«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»108«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
To find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«/mstyle»«/math», substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»108«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»108«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Note: Solving for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» and substituting the result into the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» will result in the same solution. |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»108«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»36«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Although «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is also critical, the only suitable value is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» since the question asks for positive numbers only.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»108«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»216«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»216«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
By the second derivative test, the function is at a minimum, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» because the second derivative is positive at that point (concave up).
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»108«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»108«/mn»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»18«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The two numbers are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»6«/mn»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»18«/mn»«/mstyle»«/math».
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