Unit 5

Applications of Derivatives

B. Related Rates Problems

Lesson 4: Trigonometric Functions

Example 2

A video camera at ground level is filming the liftoff of a hot-air balloon that is rising vertically according to the equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is in metres and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» is in seconds. If the camera is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» from the launch site, find the rate of change of the angle of elevation from the camera «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math» after liftoff.

Solution

Step 1:

Draw and label a diagram.

Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#952;«/mo»«/math» be the angle of elevation.

Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» be the distance from the camera to the hot-air balloon.

Step 2:

State the given and required related rates.

Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»t«/mi»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»?«/mi»«/math»

Step 3:

Write an equation.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»h«/mi»«mn»100«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»h«/mi»«mn»100«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»100«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»100«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»100«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/math» before proceeding.

Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»and«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»100«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»100«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»z«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mo»+«/mo»«mn»100«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»100«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»100«/mn»«msqrt»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»100«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Step 4:

Substitute the values of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/math» into the derivative and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»100«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»100«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»100«/mn»«msqrt»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»100«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»50«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»200«/mn»«mrow»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»100«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»101«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

The angle of elevation is increasing at a rate of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»101«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»rad«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»s«/mi»«/math».

Example 3

Two sides of a triangle measure «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» in length. The angle between the two sides is increasing at rate of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»rad«/mi»«mo»/«/mo»«mi»min«/mi»«/math». Determine the rate at which the length of the third side is increasing when the angle between the sides of fixed length is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math».

Solution

Step 1:

Draw and label a diagram.

Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» be the length of the third side of the triangle and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#952;«/mo»«/math» be the angle between the sides of fixed length.

Step 2:

State the given and required related rates.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»rad«/mi»«mo»/«/mo»«mi»min«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»?«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Step 3:

Write an equation.

Since this triangle is an oblique triangle, the cosine law must be applied.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«mi»c«/mi»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»29«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»a«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»29«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mi»a«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» before proceeding.

Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» is a length, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«/math».

Step 4:

Substitute the values of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#952;«/mo»«/math», and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» into the derivative and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»a«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mi»a«/mi»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»10«/mn»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»40«/mn»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»19«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«msqrt»«mn»57«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»19«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

The length of the third side is increasing at a rate of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»20«/mn»«msqrt»«mn»57«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»19«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mo»/«/mo»«mi»min«/mi»«/math».

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