Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 4: Areas Part 2

Watch the video Area Under a Curve for additional examples on finding the area bounded by a curve and the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.


Find the area of the regions bounded by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/math».

Using the Factor Theorem and synthetic division, determine the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts of the graph of the function. The factors of the polynomial are as follows.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

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Algebraic Solution for the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts of the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/math».   
List the integral factors of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»12«/mn»«/math», the constant term.
 
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/math»

Try «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math».   

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
  
Because «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», the binomial «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math» is a factor of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».

Now, use synthetic division (or long division) to determine another factor of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».
     
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center center center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«menclose notation=¨box¨»«mn»0«/mn»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/math».

Repeat the same process to factor «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».

List the integral factors of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/math», the constant term.
 
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mn»12«/mn»«/math»

Try «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/math».   

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Because «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math», the binomial «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math» is a factor of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».

Now, use synthetic division (or long division) to determine another factor of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»S«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math».

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center center center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»13«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«menclose notation=¨box¨»«mn»0«/mn»«/menclose»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Recall that «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/math».

In factored form, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».

here for a full algebraic solution.

As indicated by the factors, the graph crosses the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»and«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math». Using previous-acquired knowledge about polynomial functions, sketch the graph of the function.




In the graph, two regions are below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and one region is above the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis.

Recall for areas below the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis, writing a negative in front of the integral, or taking the absolute value of the integral, will result in a positive value, reflective of the actual area.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»243«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»81«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»117«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»457«/mn»«mn»60«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»333«/mn»«mn»20«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»364«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»364«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mo»§#8747;«/mo»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msubsup»«mfenced open=¨¨ close=¨|¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mn»1«/mn»«/msubsup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»487«/mn»«mn»60«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»457«/mn»«mn»60«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»236«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

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Total Area
 
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Therefore, the total area bounded by the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis and the curve «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»13«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»573«/mn»«/mrow»«mn»20«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
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